Конечно, давайте разберём ваши вопросы:
Название учреждения, избравшего на царский престол династию Романовых:
Династия Романовых была избрана на царский престол Земским собором в 1613 году. Земский собор был одним из важнейших государственных органов в России того времени, представлявших различные сословия, включая бояр, духовенство и казаков.
Наименование казачьего посольства в Москву в 16-17 веках:
Казачьи посольства в Москву в 16-17 веках обычно назывались "казачьими атаманами" или просто "посольствами". Эти посольства состояли из представителей казачества, которые приезжали для переговоров с московскими властями.
Высший законодательный и судебный орган в Войске в 16-17 веках:
В Войске Донском высшим органом власти был Круг (или Военный круг), который выполнял функции законодательного и судебного органа. На кругу собирались казаки для принятия важных решений, выбора атаманов и обсуждения вопросов внутренней политики.
Атаман донских казаков, поддерживающий Лжедмитрия I:
Одним из известных атаманов, поддерживавших Лжедмитрия I, был Корела (Иван Заруцкий). Он активно участвовал в походах Лжедмитрия и был его сторонником.
Форма государственного устройства Войска в 16-17 веках:
Войско Донское имело республиканскую форму самоуправления. Внутренние дела решались на казачьих кругах, где каждый казак имел право голоса. Это обеспечивало определённую степень автономии и самоуправления.
Крепость, в которой отряд казаков выдержал осаду армии царя Василия Шуйского:
Речь идет о Троице-Сергиевой лавре. Однако, если рассматривать именно казачью крепость, то стоит упомянуть Астрахань, где в 1606-1607 годах казаки под предводительством Ивана Болотникова держали осаду против войск царя Василия Шуйского.
Предводитель донских казаков-сторонников Лжедмитрия II:
Предводителем донских казаков, поддерживавших Лжедмитрия II, был атаман Илейко Муромец (или Илья Горчаков). Он активно участвовал в военных действиях на стороне Лжедмитрия II и его польских союзников.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дополнительная информация, не стесняйтесь спрашивать!