В начале XVII века в Новгороде не устанавливалась ни республика, ни монархия, ни власть аристократии, ни деспотия в полном смысле этих терминов. Однако, чтобы дать развернутый ответ, важно рассмотреть исторический контекст того времени.
Новгородская республика, как независимое государственное образование, существовавшее с XII века, прекратила свое существование в 1478 году после присоединения к Московскому княжеству под властью Ивана III. С этого момента Новгород потерял свою политическую автономию и был интегрирован в централизованное Московское государство, которое впоследствии стало Русским царством.
В начале XVII века, в частности, в Смутное время (1598-1613), Россия переживала период политического и социального кризиса. В этот период множество городов, включая Новгород, находились в состоянии хаоса и нестабильности. На Новгород в это время оказывали влияние как местные боярские роды, так и внешние силы.
В 1611 году шведские войска захватили Новгород, и до 1617 года он находился под шведским контролем. Это было время, когда Новгород фактически оказался под иностранным управлением. В 1617 году, по Столбовскому мирному договору, Новгород был возвращен России, но уже как часть централизованного государства под властью Михаила Фёдоровича Романова, первого царя из династии Романовых.
Таким образом, если говорить о начале XVII века, то подходящим ответом на вопрос будет вариант (б) монархия. Это связано с тем, что Новгород в этот период находился под контролем Московского государства, которое было монархией, а затем под властью царя Михаила Романова после окончания Смутного времени.